魏爾斯特拉斯函數(shù)的構造在魏爾斯特拉斯1872年6月18日的論文中首次展現(xiàn)，其表達式為fx = \sum_n=0 ^\infty a^n \cosb^n \pi x其中，0ltalt1，b 為正奇數(shù)，需滿足條件ab 1+\frac32 \pi這個函數(shù)的獨特性質(zhì)在于它雖然處處連續(xù)，但在每一個點上又不可導證明其連續(xù)；構造 魏爾斯特拉斯的原作中給出的構造是，其中0 lt a lt 1，b 為正的奇數(shù)，使得這個函數(shù)以及它處處連續(xù)而又處處不可導的證明首次出現(xiàn)在魏爾斯特拉斯于1872年6月18日在普魯士科學院出版的一篇論文中證明這個函數(shù)處處連續(xù)并不困難由于無窮級數(shù)的每一個函數(shù)項ancosbnπx的絕對值都小于常數(shù)an。

魏爾斯特拉斯函數(shù)，以其獨特的分形特性而聞名，是數(shù)學中一類處處連續(xù)但處處不可導的實值函數(shù)這個函數(shù)的出現(xiàn)推翻了當時人們對連續(xù)函數(shù)的傳統(tǒng)理解，即認為除了少數(shù)特殊點，連續(xù)函數(shù)在每一點都有斜率魏爾斯特拉斯的函數(shù)定義為一個無窮級數(shù)，其連續(xù)性和不可導性的證明在1872年的一篇論文中首次提出盡管；對于一元函數(shù)，可微和可導是等價的，即導數(shù)在此點連續(xù) 左導數(shù)等于右導數(shù)，且等于該點導數(shù)如果該點由定義則可導對于二元函數(shù)，若可導且導函數(shù)在該點連續(xù)則可微。

存在一種數(shù)學現(xiàn)象，即處處連續(xù)而處處不可導函數(shù)魏爾斯特拉斯函數(shù)是此類函數(shù)的典型代表，但其實還存在更多復雜而精妙的構造方法定理21提供了一種普遍的構造技巧，可用于創(chuàng)建處處連續(xù)但處處不可微的分形函數(shù)這種方法巧妙地融合了連續(xù)性和不可導性，揭示了數(shù)學結(jié)構的復雜性數(shù)學史上的諸多巨匠，如高斯；魏爾斯特拉斯在1872年的論文中構造了一個獨特的函數(shù)，該函數(shù)既處處連續(xù)又處處不可導這個構造的關鍵是利用0ltalt1和正奇數(shù)b，使得函數(shù)項的級數(shù)一致收斂，從而確保函數(shù)的連續(xù)性然而，函數(shù)的非導性部分是其獨特之處，通過構造兩個不同數(shù)列趨近于同一點但極限值不相等，證明了其不可導性，這與通常的。

他解決矛盾的方法是不留心于指定課業(yè)，私下繼續(xù)自學數(shù)學，結(jié)果他沒有學位就離開了大學他父親在明斯特一家?guī)熡枌W校為他找到一個位子，他之后也得以注冊為該市教師他在這段學習中上了克里斯托夫·古德曼Christoph Gudermann的課，對橢圓函數(shù)萌生興趣1850年后魏爾施特拉斯患病了很久，但仍然發(fā)表論文。

由于級數(shù)的一致收斂性，魏爾斯特拉斯函數(shù)在其定義域內(nèi)是處處連續(xù)的不可導性證明魏爾斯特拉斯函數(shù)的獨特之處在于其處處不可導性這通過構造兩個不同數(shù)列趨近于同一點但極限值不相等來證明具體來說，對于函數(shù)中的任意一點，都可以找到兩個不同的數(shù)列，它們都以該點為極限，但沿著這兩個數(shù)列趨近時；魏爾斯特拉斯函數(shù)的性質(zhì)通過級數(shù)分析得到了證明每個函數(shù)項a^n \cosb^n \pi x的絕對值都小于常數(shù)a^n，且正項級數(shù)\\sum_n=0 ^\infty a^n\由于收斂性，使得整個級數(shù)和fx在實數(shù)集\\mathbb R\上連續(xù)然而，關鍵的結(jié)論是，函數(shù)fx并非處處可導為了證明這一點，我們采用。

您好，答案如圖所示魏爾斯特拉斯函數(shù)是一類處處連續(xù)而處處不可導的實值函數(shù)魏爾斯特拉斯函數(shù)是一種無法用筆畫出任何一部分的函數(shù)，因為每一點的導數(shù)都不存在，畫的人無法知道每一點該朝哪個方向畫而且該函數(shù)的每一點的斜率也是不存在的；盡管魏爾斯特拉斯函數(shù)處處連續(xù)，但它卻在每一點上都是不可導的這是因為該函數(shù)的圖像在每個點上都像y=x在x=0處的尖點一樣，沒有平滑的切線換句話說，無論我們?nèi)绾芜x擇一點并嘗試計算該點的導數(shù)，都會發(fā)現(xiàn)導數(shù)不存在，因為函數(shù)在該點附近的變化率不是唯一或穩(wěn)定的局部與整體的自相似性魏。

探索魏爾斯特拉斯函數(shù)連續(xù)性與不可導性的奇妙組合 首先，讓我們聚焦于實數(shù)域上那個看似簡單的狄利克雷函數(shù)Dirichlet Function它以獨特的分段形式定義 Dx = 0，當x是無理數(shù)，而Dx = 1，當x是有理數(shù)定義域遍歷整個實數(shù)R，值域鎖定在0，1之間這個函數(shù)的奇偶性值得玩味由于有。

下面證明函數(shù)處處不可導對一個給定的點ltmathx \in \mathbb Rltmath，證明的思路是找出趨于ltmathxltmath 的兩組不同的數(shù)列l(wèi)tmathx_nltmath 和 ltmathx#39_nltmath，使得 ltmath\lim \inf \fracfx_n fxx_n x \lim \sup \fracfx#39_n fxx#39_n xltmath 這與函數(shù)可導的定義；編輯詞條 發(fā)表評論 歷史版本 打印 處處連續(xù)處處不可導函數(shù) 在數(shù)學分析的發(fā)展歷史上，數(shù)學家們一直猜測連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間中，至多除去可列個點外都是可導的也就是說，連續(xù)函數(shù)的不可導點至多是可列集在當時，由于函數(shù)的表示手段有限，而僅僅從初等函數(shù)或從分段初等函數(shù)表示的角度出發(fā)去。

連續(xù)性與不可導性盡管魏爾斯特拉斯函數(shù)的每一項函數(shù)項都是連續(xù)且絕對值有界，級數(shù)整體上一致收斂，從而保證了函數(shù)的連續(xù)性，但魏爾斯特拉斯通過構造矛盾的數(shù)列序列，證明了該函數(shù)在某一點都不可導這一點與直觀上認為的連續(xù)函數(shù)幾乎可導形成了鮮明對比數(shù)學史上的意義魏爾斯特拉斯函數(shù)的提出打破了。